Cervello
Lo strumento che ci rende Immortale
Geometria
Segmentos
El primer paso para detallar las ideas que acabamos de exponer es, naturalmente, probar que es posible dividir segmentos en partes iguales. Teorema 2.1 Para todo numer ´ o natural n ≥ 2, todo segmento se puede dividir en n partes iguales. Demostracion: ´ Sea AB un segmento contenido en una recta r. Llamamos X al conjunto formado por la semirrecta complementaria de −−→AB m´as los puntos P de AB tales que n AP < AB. Sea Y el conjunto de los puntos de r que no est´an en X. Es obvio que se cumplen las hip´otesis del axioma D, luego existe un punto C en r tal que X e Y son semirrectas de origen C. Veamos que n AC ≡ AB.
Supongamos que n AC < AB. Sea entonces D un punto entre A y B tal
que n AC ≡ AD. Sea m un numero ´ natural tal que 2m > n. Sea u el segmento
que resulta de dividir m veces por la mitad el segmento DB. Entonces tenemos
nu < 2mu = DB. En particular u < CB, luego podemos tomar un punto E en
CB tal que CE ≡ u. As´ı,
n AE ≡ n AC + n CE < AD + DB ≡ AB.
Esto significa que E est´a en X, pero es posterior a C, lo cual es imposible. De
modo similar se prueba que n AC > AB lleva a contradicci´on. Por lo tanto
n AC = AB.
Aunque la medida de ´angulos la abordaremos cuando hayamos acabado con
la de segmentos, la similitud de las pruebas aconseja incluir aqu´ı este teorema:
Teorema 2.2 Para todo numer ´ o natural n ≥ 2, todo ´angulo se puede dividir
en n partes iguales.
Demostracion: ´ El teorema es cierto incluso para ´angulos llanos, pero
podemos reducir este caso al de ´angulos menores del modo siguiente: Para
dividir un ´angulo llano en n partes dividimos un ´angulo recto en n partes y
tomamos el doble del resultado. As´ı pues, partamos de un ´angulo en sentido
estricto L = AO\B. Cada punto P del segmento AB distinto de A determina
un ´angulo LP = AO[P contenido en L y, rec´ıprocamente, todo ´angulo contenido
en L con un lado igual a −→OA es de la forma LP . Adem´as, si A < P < Q ≤ B,
entonces el ´angulo LQ contiene a −−→OP, luego es mayor que LP . Esto implica,
m´as en general, que P <AB Q si y s´olo si LP < LQ.
A partir de aqu´ı la prueba sigue el mismo argumento que la del teorema
anterior. Tomamos como X el conjunto de los puntos de la semirrecta complementaria
a −−→AB m´as los puntos P de AB tales que nLP < L. El conjunto Y
est´a formado por los puntos de la recta AB que no est´an en X, bien porque
nLP ≥ L, bien porque LP no se puede sumar n veces consigo mismo.
Es f´acil ver que se cumplen las hip´otesis del axioma D, con lo que obtenemos
un punto C de manera que X es una semirrecta de origen C. Veamos que existe
nLC .
Dividiendo por la mitad el suplementario de L un numero ´ suficiente de veces
(los detalles son los mismos que en el teorema anterior) encontramos un ´angulo
M tal que nM sea menor que dicho suplementario (y podemos exigir que sea
menor que LC ). Existe un punto P <AB C tal que LC − M ≡ LP , luego P
est´a en X y por lo tanto existe n(LC − M) < L, y como nM es menor que el
suplementario de L, tambi´en existe n(LC −M)+nM ≡ nLC . A partir de aqu´ı,
la prueba de que nLC ≡ L es formalmente id´entica a la del teorema anterior.
La definici´on de la medida de un segmento descansa fuertemente en la propiedad
siguiente, que nos permitir´a eludir la existencia de una raz´on respecto a
una unidad.
Teorema 2.3 (Propiedad de Arqu´ımedes) Para todo par de segmentos u
y v existe un numer ´ o natural n tal que nu > v.
Demostracion: ´ Podemos suponer que u = AB y v = AC, as´ı como que
ambos est´an sobre una misma semirrecta s de origen A. Supongamos que el
resultado es falso, es decir, que nu < v para todo numero ´ natural n (observemos
que si se diera la igualdad para un n, entonces n+1 cumplir´ıa el teorema. Para
cada n, sea An el punto de s que cumple que AAn ≡ nu. Llamemos X al
conjunto de todos los puntos de la semirrecta complementaria a s m´as los P
puntos de s que cumplen P <AB An para algun´ n. Sea Y el conjunto de los
puntos de s que no est´an en X (por ejemplo C). Es evidente que se cumplen
las hip´otesis del axioma D, luego existe un punto D en s de modo que X e
Y son las semirrectas de origen D. Sea E un punto de s tal que ED ≡ u.
Entonces E < ABD, luego E ha de estar en X. Por consiguiente existe un
numero ´ n tal que E < ABAn, lo que significa que AE < AAn ≡ nu, de donde
AD ≡ AE + ED < nu + u = (n + 1)u ≡ AAn+1, pero entonces An+1 es un
punto de X posterior a D, lo cual es contradictorio.
La propiedad de Arqu´ımedes puede leerse como que todo segmento puede
hacerse arbitrariamente grande sum´andolo consigo mismo un numero ´ suficiente
de veces, pero tambi´en implica claramente que todo segmento se puede hacer
arbitrariamente pequeno˜ dividi´endolo en un numero ´ suficiente de partes iguales.
A su vez de aqu´ı se sigue que si dividimos un segmento en partes suficientemente
pequenas ˜ y sumamos un numero ´ adecuado de ´estas, podemos formar un segmento
igual a cualquier otro prefijado con un error menor que la longitud de
las partes que empleamos, es decir, con un error tan pequeno˜ como se desee.
Nuestra definici´on de medida de segmentos se basar´a en este hecho.
Definici´on 2.4 Dado un segmento u y un numero ´ racional positivo p/q, llamaremos
(p/q)u al segmento que resulta de dividir u en q partes iguales y sumar
p de ellas.
Claramente (p/q)u est´a definido salvo congruencia. La simplificabilidad de
la suma de segmentos permite probar por argumentos puramente algebraicos
que la definici´on no depende de la fracci´on escogida como representante del
numero ´ racional, as´ı como que se cumplen las propiedades siguientes:
1. (rs)u ≡ r(su), r(u + v) ≡ ru + rv, (r + s)u ≡ ru + su,
2. Si ru ≡ rv entonces u ≡ v,
3. Si ru ≡ su, entonces r = s,
4. Si r < s entonces ru < su,
5. Si u < v entonces ru < rv,
para todos los numeros ´ racionales positivos r, s y todos los segmentos u y v.
En estos t´erminos, que la raz´on entre dos segmentos u y v sea un numero ´
racional positivo r significa que u = rv. Con esto podemos hacer una primera aproximaci´on al problema de la medida. Tomemos una recta cualquiera y en ella fijemos dos puntos arbitrarios P0 y P1. Entonces a cada numero ´ racional positivo r le podemos asignar un´ıvocamente un punto Pr de la semirrecta −−−→ P0P1, a saber, el unico ´ que cumple P0Pr ≡ r P0P1. Es util ´ convenir en asignar a los numeros ´ racionales negativos puntos en la semirrecta complementaria, de modo que si r < 0 entonces Pr est´a determinado por la relaci´on P0Pr ≡ −r P0P1.
Es importante notar que esta asignaci´on de numeros ´ racionales a algunos puntos de una recta depende de la elecci´on arbitraria de los puntos P0 y P1 o, en otros t´erminos, de la elecci´on de P0, de la unidad de medida u = P0P1 y de la orientaci´on de la recta (es decir, de la semirrecta que tomamos como positiva). Cuando en una recta hemos hecho estas elecciones, diremos que tenemos una recta graduada. Si en una recta graduada consideramos el orden para el cual P0 < P1, entonces el orden en Q se corresponde claramente con el orden de la recta. El problema es que no todo punto de la recta tiene asignado un numero ´ racional. Sin embargo tenemos lo siguiente: Teorema 2.5 Si P y Q son dos puntos distintos de una recta graduada, existe un numer ´ o racional r tal que P < Pr < Q. Demostracion: ´ Si P y Q est´an en semirrectas distintas respecto a P0 es obvio. Podemos suponer que P0 < P < Q. El caso contrario es an´alogo. Sea u = P0P1 y v = PQ. Por la propiedad de Arqu´ımedes existe un numero ´ natural n tal que u < nv o, equivalentemente, (1/n)u < v. De nuevo por la propiedad de Arqu´ımedes existe un numero ´ m tal que (m/n)u > P0P. Podemos tomar el m´ınimo que cumpla esto. Entonces m − 1 n u ≤ OP, luego m n u < P0P + 1 n u < P0P + PQ = P0Q. Por consiguiente si llamamos r = m/n tenemos que P0P < Pr < P0Q, es decir, P < Pr < Q. La idea clave para definir la medida de un segmento es la siguiente: medir un segmento s con respecto a una unidad u significa cuantificar c´omo es de grande s supuesto que sabemos c´omo es de grande u. En el mejor de los casos esta informaci´on puede codificarse con un numero ´ racional, pero si no es as´ı, para conocer el tamano˜ relativo de un segmento s con respecto a v es suficiente saber qu´e numeros ´ racionales r hacen que ru < s y qu´e numeros ´ racionales hacen ru ≥ s. Equivalentemente, si situamos a s en una recta graduada con la unidad u y con un extremo en P0, el problema es saber entre qu´e puntos Pr se encuentra el otro extremo de s.
Triangulos
lados formados por semirrectas complementarias se llaman ´angulos adyacentes. Dos ´angulos con el mismo v´ertice y cuyos lados son semirrectas complementarias se llaman ´angulos opuestos por el v´ertice. Cada ´angulo tiene exactamente dos ´angulos adyacentes y un ´angulo opuesto por el v´ertice.
Teorema 1.20 Sean A, O, B puntos no colineales en un plano π. Entonces una semirrecta de origen O y contenida en π est´a contenida en el ´angulo AO\B si y s´olo si corta al segmento AB. Demostracion: ´ Sea s una semirrecta de origen O y contenida en π. Podemos suponer que no es uno de los lados de AO\B. Si s corta a AB en un punto X y P es cualquier otro punto de s (distinto de O), entonces la prolongaci´on del segmento PX es la prolongaci´on de s, que corta a los lados del ´angulo en el punto O, y ´este no est´a en PX. Por lo tanto P y X est´an en los mismos semiplanos respecto a los lados del ´angulo, y como X est´a en el ´angulo, P tambi´en. Esto prueba que s est´a contenida en AO\B. Rec´ıprocamente, supongamos que s est´a contenida en AO\B. Sea s¯ la prolongaci´on de s y consideremos un punto C tal que O est´e entre C y B. Los puntos A, B y C no son colineales, y s¯ no pasa por ninguno de ellos. Como s¯ pasa por O, que es un punto entre C y B, por el axioma B5 ha de pasar por un punto en \tre A y B o bien por un punto entre A y C. Ahora bien, s est´a contenida en AOB y puesto que al pasar por O cruza a la vez los dos lados de s, es claro que la semirrecta complementaria de s est´a contenida en el ´angulo opuesto por el v´ertice a AO\B. Sin embargo el segmento AC est´a contenido en el ´angulo AO[C, que es uno de los adyacentes a AO\B. Por lo tanto s¯ no puede cortar a AC. As´ı pues, s¯ corta a AB. Sin embargo, la semirrecta complementaria de s no puede cortar a este segmento, pues est´a fuera de AO\B. Concluimos que es s quien corta al segmento. Observemos que si un punto P est´a en un ´angulo AO\B entonces la semirrecta −−→OP est´a contenida en AO\B. Teorema 1.21 Dos ´angulos con un lado en comun´ y contenidos en el mismo semiplano respecto a ´el est´an contenidos el uno en el otro. Demostracion: ´ Los ´angulos ser´an de la forma AO\B1 y AO\B2. Supongamos que el segmento AB1 no corta a la recta OB2. Entonces todos los puntos de AB1 est´an en el mismo semiplano que A respecto a OB2, y por hip´otesis tambi´en est´an en el mismo semiplano que B2 respecto a OA. Por lo tanto AB1 est´a contenido en AO\B2. Si P es cualquier punto de AO\B1 (que no est´e en OA) la semirrecta −−→OP corta a AB1 en un punto X. Si X = P ya tenemos que P est´a en AO\B2. En caso contrario, el segmento XP no contiene a O, por lo que X y P est´an en los mismos semiplanos respecto a los lados de AO\B2, luego P est´a en AO\B2. Supongamos ahora que AB1 corta a la recta OB2 en un punto X. Entonces X est´a en AO\B1, luego est´a en el mismo semiplano que B2 respecto a OA, luego en realidad X est´a en −−→OB2. Esto implica que AO\X = AO\B2, luego no perdemos generalidad si suponemos que X = B2. Ahora, si P est´a en AO\B2 la semirrecta −−→OP corta a AB2, luego corta a AB1, luego est´a contenida en AO\B1, luego P est´a en AO\B1. De la prueba del teorema anterior y del teorema 1.20 se deduce el hecho siguiente: Teorema 1.22 Sean l1, l2 y l3 semirrectas de origen O y tales que l2 y l3 est´en contenidas en un mismo semiplano de frontera la prolongaci´on de l1. Entonces l d1l2 est´a contenido en l d1l3 si y s´olo si l2 est´a contenida en l d1l3. Definici´on 1.23 Sean A, B y C tres puntos no colineales. Llamaremos tri´angulo de v´ertices A, B y C a la intersecci´on de los ´angulos B \AC, AB\C y AC\B. Lo representaremos por AB\C. Los ´angulos B \AC, AB\C y AC\B se llaman ´angulos del tri´angulo AB\C. Cuando no haya ambiguedad, ¨ nos referiremos a ellos como Aˆ, Bˆ y Cˆ, respectivamente (es decir, los nombraremos por sus v´ertices). Los segmentos AB, AC y BC se llaman lados de AB\C. Los tres lados de un tri´angulo forman su frontera. Los lados AB y AC se llaman lados contiguos al ´angulo Aˆ, mientras que el lado BC es el lado opuesto al ´angulo Aˆ (similarmente con los otros dos ´angulos). Normalmente llamaremos a, b y c a los lados de un tri´angulo AB\C, de modo que a ser´a el lado opuesto al ´angulo Aˆ, b ser´a el lado opuesto a Bˆ y c ser´a el lado opuesto a Cˆ.
Cuadrilateros
Es un pol´ıgono de cuatro lados. Se dividen en paralel´ogramos, trapecios y trapezoides.
9.6.1. Paralelo´gramos
Tienen dos pares de lados opuestos paralelos. Se clasifican en:
Paralel´ogramos Rectos: Sus ´angulos interiores son rectos. Estos son:
• cuadrado • rect´angulo.
Paralel´ogramos Oblicuos: Sus ´angulos interiores no son rectos, Estos son:
• rombo • romboide.
Propiedades de todo paralel´ogramo:
1. Lados opuestos congruentes 2. ´Angulos opuestos congruentes 3. ´Angulos consecutivos suplementarios
4. Las diagonales se dimidian
? Si un cuadril´atero cumple con una de estas propiedades entonces es un par- alelogramo.
Cuadrado: Tiene los cuatro ´angulos y los cuatro lados congruentes.
Propiedades:
1. Diagonales Congruentes
2. Diagonales Perpendiculares
3. Diagonales Bisectrices
Rect´angulo: Tiene sus lados contiguos desiguales.
Propiedades:
1. Diagonales Congruentes
Rombo: Tiene sus cuatro lados congruentes.
Propiedades:
1. Diagonales Perpendiculares
2. Diagonales Bisectrices
Romboide: Tiene sus lados contiguos desiguales.
Propiedades:
Solo tiene las cuatro propiedades generales de los paralel´ogramos.
9.6.2. Trapecios
Tiene solo un par de lados paralelos, llamados bases.
Propiedades de todo trapecio:
1. En todo trapecio la mediana1 es igual a la semisuma de las bases.
Trapecio Is´osceles: Tiene:
• Los lados no paralelos iguales. AD = BC
• Los´angulos basales iguales. α = β γ = δ
• Las diagonales iguales. AC = BD
• Al trazar sus alturas, se generan dos tri´angulos rect´angulos congruentes, y en la base mayor un segmento igual a la base mayor. 4AED ∼ = 4BFC EF = DC
Trapecio Trisolatero: Tiene tres lados iguales y posee las mismas propiedades del trapecio is´osceles. BC = CD = DA
Trapecio Rectangulo: Tiene dos ´angulos rectos. ]CDA = ]DAB = 90◦
Trapecio Escaleno: Tiene sus cuatro lados y sus cuatro ´angulos distintos. AB 6= BC 6= CD 6= DE α 6= β 6= γ 6= δ
9.6.3. Trapezoides
No tiene par de lados paralelos.
Trapezoide Asimetrico: Es el cuadril´atero convexo sin lados paralelos que puede tener: cuatro lados distintos; dos iguales y dos distintos; tres iguales y uno distinto.
Trapezoide Sim´etrico o Deltoide: Es formado por dos tri´angulos is´osceles unidos por sus bases.
Propiedades:
1. Diagonales Perpendiculares
2. Diagonal mayor bisectriz
3. Diagonal mayor simetral de la diagonal menor
Circunferencia
Dado un punto O y una distancia r, se llama circunferencia de centro O y radio r al conjunto de todos los puntos del plano que est´an a la distancia r del punto O.
Partes de la circunferencia
Radio : Trazo cuyos extremos son el centro de la circunferencia y un punto de ´esta. OA
Cuerda : Trazo cuyos extremos son dos puntos de una circunferencia. DE
Di´ametro : Cuerda que contiene al centro de la circunferencia. BC
Secante : Recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia. ~ PQ
Tangente : Recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto. TM
Arco : Es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos de ella.
_ ENC
Principales teoremas
Teorema 1 : Si un radio de una circunferencia es perpendicular a una cuerda, entonces la dimidia y viceversa.
OD ⊥ AB ⇔ AC ∼ = CB
Teorema 2 : Si un radio de una circunferencia es perpendicular a una cuerda, entonces dimidia al arco que subtiende la cuerda y viceversa.
OD ⊥ AB ⇔ arco(AD) ∼ = arco(DB)
Figura 9.1: Teoremas 1 y 2
Teorema 3 : Cuerdas congruentes subtienden arcos congruentes y viceversa.
arco(AB) ∼ = arco(CD) ⇔ CD ∼ = AB
Teorema 4 : Cuerdas congruentes equidistan del centro y viceversa.
OF ∼ = OE ⇔ CD ∼ = AB
Teorema 5 : Cuerdas paralelas determinan entre ellas arcos congruentes.
AB k GH → AG ∼ = BH
Teorema 6 : La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.
QP tangente en P ⇒ QP ⊥ OP
Teorema 7 : Los segmentos tangentes trazados desde un punto a una circunferencia, con con- gruentes. PA = PB
Teorema 8 : En todo cuadril´atero circunscrito a una circunferencia la suma de las longitudes de los lados opuestos es la misma.
AB + DC = BC + AD