Cervello
Lo strumento che ci rende Immortale
Algebra
Lenguaje Algebraico
Para poder trabajar con el ´algebra es necesario manejar la equivalencia entre el lenguaje comu´n o cotidiano con el lenguaje algebraico. A continuaci´on haremos un paralelo entre los dos lenguajes, para as´ı poder aplicarlo en el planteamiento de problemas.
Expresiones Algebraicas
Es la representaci´on de una o m´as operaciones algebr´aicas.
♠ Ejemplos:
† (a + b) † 6−2a 3b † a b
3.3.1. T´ermino
Es una expresi´on algebr´aica formada por varios s´ımbolos no separados entre si por (+) ´o (−)
♠ Ejemplos:
† 7b † 3a 4x † 15xz
† a
Los elementos de un t´ermino son el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado
Ejemplos :
♠ −3b2, es un t´ermino negativo, su coeficiente es −3, la parte literal es b2 y el grado es 2.
3.3.2. Clasificacio´n de las Expresiones Algebr´aicas
Monomio : Consta de un solo t´ermino.
♠ Ejemplos:
† 4b
† −8c † 4ab c2
Polinomio : Consta de m´as de un t´ermino.
♠ Ejemplos:
† 4a + 2b
†
c−b−a b
+3−y 5b3
† a2 5 − 9c 4d − 14 + 11y
Los polimonios m´as utilizados son:
Binomios: Consta de 2 t´erminos
Trinomios: Consta de 3 t´erminos
1. T´erminos Semejantes
Dos o m´as t´erminos son semejantes si tienen la misma parte literal (iguales letras e iguales exponentes).
♠ 12p, −3,5p y 7p 2 , son t´erminos semejantes.
2. Eliminaci´on de Par´entesis
Si al par´entesis lo antecede un signo positivo (+), ponemos este y todos los t´erminos quedan igual, no sucede lo mismo con el signo negativo (−), ya que este invierte todos los signos de los t´erminos del par´entesis.
♣ Actividad 3.3.
Resuelve reduciendo t´erminos semejantes.
1. 7a − 9b + 6a − 4b
2. −71a3b − 82a4b2 + 50a3b + 84a4b2 + 45a3b
3. am+2 + xm+3 − 5 + 8 − 3am+2 + 5xm+3 − 6 + am+2 − 5xm+3
4. −a + b + 2b − 2c + 3a + 2c − 3b 5. 3m2 5 − 2mn + 1m2 10 − 1mn 3 + 2mn − 2m2 6. −{−[−(a + b − c)]} − {+[−(c − a + b)]} + [−{−a + (−b)}]
4. Productos Algebraicos
3.4.1. Multiplicaci´on de Monomios
Se multiplican los coeficientes y luego las letras en orden alfab´etico.
♠ (3x2)(4xy2)=12x2+1y2=12x3y2
♠ (−5a3)(3ab)=−15a3+1b=−15a4b
♣ Actividad 3.4.
Multiplique los siguientes monomios:
1. (−5x3y)(xy2) 10. (1 2a2)(4 5a3b) 2. (−4a2b)(−ab2) 11. (−3 5x3y4)(−5 6a2by5) 3. (a2b3)(3ax) 12. (−2 9axbm+1)(−3 5ax−1bm) 4. (−15x4y3)(−16a2x3) 13. (a)(−3a)(a2) 5. (−5ambn)(−6a2b3x) 14. (−m2n)(−3m2)(−mn3) 6. (xmync)(−xmyncx) 15. (ambx)(−a2)(−2ab)(−3a2x) 7. (−mxna)(−6m2n) 16. (2 3am)(3 4a2b4)(−3a4bx+1) 8. (−3an+4bn+1)(−4an+2bn+3) 17. (−3 5m3)(−5a2m)(− 1 10axma) 9. (4xa+2ba+4)(−5xa+5ba+1) 18. (−1 2x2y)(−3 5xy2)(−10 3 x3)(−3 4x2y)
4.2. Multiplicaci´on de Polinomio por Monomio
Multiplicamos el monomio por cada uno de los t´erminos del polinomio.
♠ (3a2 − 7a + 4)4ax2=(3a2)(4ax2) − (7a)(4ax2) + a(4ax2)=12a3x2 − 28a2x2 + 16ax2
Multiplicar:
1. (8x62y − 3y2)(2ax3)
2. (m4 − 3m2n2 + 7n4)(−4m3x)
3. (a3 − 5a62b − 8ab2)(−4a4m2)
4. (an+3 − 3an + 2 − 4an+1 − an)(−anx2)
5. (a8 − 3a6b2 + a4b4 − 3a2b6)(−5a3)
6. (ambn + 3am−1bn+2 − am−2bn+4 + am−3bn+6)(4amb3)
7. (1 3x2 − 2 5xy − 1 4y2)(3 2y3)
8. (3a − 5b + 6c)(− 3 10a2x3)
9. (2 9x4 − x2y2 + 1 3y4)(3 2x3y4)
10. (1 2a2 − 1 3b2 + 1 4x2 − 1 5y62)(−5 8a2m)
11. (2 3m3 + 1 2m2n − 5 6mn2 − 1 9n3)(3 4m2n3)
12. (2 5x6 − 1 3x4y2 + 3 5x2y4 − 1 10y6)(−5 7a3x4y3)
3.4.3. Multiplicacio´n de Polinomio por Polinomio
Para multiplicar tomamos el 1er t´ermino del 1er polinomio y lo multiplicamos con el 2do poli- nomio, luego tomamos el 2do t´ermino del 1er polinomio y lo multiplicamos con el 2do polinomio, y as´ı continuamos sucesivamente hasta terminar con el polinomio.
♠ (a + 5)(a2 − 3)=a(a2 − 3) + 5(a2 − 3)=a3 − 3a + 5a2 − 15=a3 + 5a2 − 15
♠ (a+a2 +a3 +···+an)(b+b2 +b3 +···+bn) = a(b+b2 +b3 +···+bn)+a2(b+b2 +b3 +···+ bn)+a3(b+b2+b3+···+bn)+···+an(b+b2+b3+···+bn) = ab+ab2+ab3+···abn+a2b+ a2b2 +a2b3 +···+a2bn +a3b+a3b2 +a3b3 +···+a3bn +···+anb+anb2 +anb3 +···anbn
♣ Actividad 3.6.
Multiplicar:
1. (a + 3)(a − 1)
2. (ax − ax+1 + ax+2)(a + 1)
3. (6m − 5n)(−n + m)
4. (ax−1 − bn−1)(a − b)
5. (x2 + xy + y2)(x − y)
6. (a2m+1 − 5a2m+23a2m)(a3m−3 + 6a3m−1 − 8a3m−2)
7. (m3 − 3m2n + 2mn2)(m2 − 2mn − 8n2)
8. (1 2a − 1 3b)(1 3a + 1 1b)
9. (x2 + y2 + z2 − xy − xz − yz)(x + y + z)
10. (2 5m2 + 1 3mn − 1 2n2)(3 2m2 + 2n2 − mn)
11. (5y4 − 3y3 + 4y2 + 2y)(y4 − 3y2 − 1)
12. (1 4a2 − ab + 2 3b2)(1 4a − 3 2b)
Productos notables
Estos son productos que cumplen con ciertas reglas, que nos permiten hacer m´as fluido nuestros c´alculos.
4.1.1. Cuadrado de Binomio
Es el 1er t´ermino al cuadrado (+) ´o (−) el doble producto del 1ero por el 2do (+) el 2do t´ermino al cuadrado.
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
4.1.2. Suma por su Diferencia
Es el 1er t´ermino al cuadrado (−) el segundo t´ermino la cuadrado.
(a + b)(a − b) = a2 − b2
4.1.3. Cubo de Binomio
Es el 1er t´ermino al cubo (+) ´o (−) el triple producto del 1ero al cuadrado por el segundo (+) el triple producto del 1ero por el 2do al cuadrado (+) ´o (−) el 2do t´ermino al cubo.
(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3
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4. Desarrollo Algebraico
4.1.4. Multiplicacio´n de binomios con un t´ermino en comu´n
Es el t´ermino en comu´n al cuadrado m´as (+) la suma de los t´ermino distintos por el t´ermino en comu´n m´as (+) el producto entre los t´erminos distintos.
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
♣ Actividad 4.1.
Resuelve los siguientes productos notables:
1. (5 + x)2
2. (xa+1 − 3xa−2)2
3. (1 − 3y)3
4. (a2x + by2)2
5. (1 − 3ax)(3ax + 1)
6. (a2 − 2b)3
7. (3a4 − 5b2)2
8. (6x2 − m2x)(6x2 + m2x)
9. (4n + 3)3
10. (8x2y + 9m3)2
11. (3xa − 5ym)(5ym + 3xa)
12. (2x + 3y)3
13. (x5 − 3ay2)2
14. (x2 + a2)(x2 − a2)
15. (1 − a2)3
16. (xa+1 + yx−2)2
17. (ax+1 − 2bx−1)(2bx−1 + ax+1)
18. (2x − 3y3)3
19. (ax−2 − 5)2
20. (2x + 1)3
4.1.5. Binomio a una Potencia Natural
Corresponde a la manera de generalizar el cuadrado de binomio, el cubo de binomio, binomio a la cuarta, etc. A un binomio a la n, donde n es un nu´mero natural.
(x ± y)n = a0xn ± a1xn−1y + a2xn−2y2 ± a3xn−3y3 + ···anyn
Factorizacion
Al factorizar buscamos dos o m´as factores cuyo producto sea igual a la expresi´on que quer- emos obtener. No todos los polinomios se pueden factorizar, ya que hay algunos que solo son divisibles por si mismo y por 1, como por ejemplo: x + y. Pero hay que tener ojo ya que este polinomio no es divisible en los reales R (que es donde estamos trabajando), esto no significa que no se pueda factorizar en otro conjunto num´erico mayor, por ejemplo x + y si se puede factorizar en los complejos C, quedando: ( √ x + √ yi)( √ x − √ yi). Por ahora solo trabajaremos en los reales R.
4.2.1. Factor Comu´n
Factor Comu´n de un Monomio
♠ Ejemplos:
• 5x + 25x2y = 5x(1 + 5xy) • 18mxy2 − 54m2x2y2 + 36my2 = 18my2(x − 3mx2 + 2)
Factor Comu´n de un Polinomio
♠ Ejemplos:
• x(a + b) + m(a + b) = (x + m)(a + b) • 2x(a − 1) − y(a − 1) = (2x − y)(a − 1) • a(x + 1) − x − 1 = a(x + 1) − (x + 1) = (a − 1)(x + 1)
Factor Comu´n por Agrupaci´on de T´erminos
♠ Ejemplos:
• ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by) = x(a + b) + y(a + b) = (x + y)(a + b) • 2x2−3xy−4x+6y = (2x2−3xy)−(4x−6y) = x(2x−3y)−2(2x−3y) = (x−2)(2x−3y)
4.2.2. Factorizaci´on de Trinomios
Trinomio Cuadrado Perfecto
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, primero tenemos que ordenar el trinomio dejando a los extremos los cuadrados perfectos. Por ejemplo:
2m + m2 + 1 = m2 + 2m + 1
Luego extraemos la ra´ız cuadrada a los cuadrados perfectos. de m2 es m y de 1 es 1 obteniendo:
(m + 1)(m + 1) = (m + 1)2
Trinomio de la forma x2 + bx + c
Tomemos el trinomio x2 − 7x + 12 el cual ya est´a ordenado, entonces escribiremos:
x2 − 7x + 12 = (x )(x )
Luego nos preguntamos que nu´meros sumados me dan −7 y a la vez multiplicados me den 12, estos nu´meros son −3 y −4, estos los colocamos en los par´entesis.
x2 − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4)
Trinomio de la forma ax2 + bx + c
Tomemos el trinomio 6x2 −7x−3, ya ordenado amplificaremos por el coeficiente que acom- pan˜a a x2, que en este caso es 6 quedando:
(6x2 − 7x − 3) · 6 = (6x)2 − 7(6x) − 18
Ahora buscamos dos nu´meros que multiplicados den −18 y sumados −7, estos son −9 y 2. Como anteriormente amplificamos la expresi´on por 6 ahora hay que dividir por 6.
6x2 − 7x − 3 =
(6x)2 − 7(6x) − 18 6
=
36x2 − 7(6x) − 18 6
=
(6x )(6x ) 6
=
(6x − 9)(6x + 2) 6
=
3(2x − 3)2(3x + 1) 6
=
6(2x − 3)(3x + 1) 6 = (2x − 3)(3x + 1)
4.2.3. Factorizaci´on de Cubos
Cubo perfecto de Binomio
Tenemos que ordenar la expresi´on con respecto a una letra. Y debe cumplir con las siguientes condiciones:
1. Debe tener cuatro t´erminos
2. El 1ero y el u´ltimo t´ermino deben ser cubos perfectos
3. El 2do sea m´as o menos el triple del 1ero al cuadrado por el 2do.
4. Y que el 3er t´ermino sea el triple del 1ero por el 2do al cuadrado.
Tomemos −27 + 27x − 9x2 + x3 ordenado queda: x3 − 9x2 + 27x − 27 Tiene cuatro t´erminos, la ra´ız cu´bica de x3 es x y la de −27 es −3, adem´as 3·x2 ·−3 es el 2do t´ermino y 3·x·(x)2 el 3ero.
Suma o Diferencia de Cubos Perfectos
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
4.2.4. Diferencia de Cuadrados Perfectos
Tenemos que extraer la ra´ız cuadrada a los dos t´erminos y luego multiplicamos la diferencia de las ra´ıces con la suma de estas.
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
Ya que la ra´ız de a2 es a y la de b2 es b.
Ecuaciones
Ecuacion : Las ecuaciones son expresiones algebraicas formadas por dos miembros separados de una igualdad (=). Uno o ambos de ´estas partes debe tener a lo menos una variable conocida como inc´ognita.
Las ecuaciones se satisfacen s´olo para determinados valores de la o las inc´ognitas, los cuales son conocidos como soluciones o raices de la ecuaci´on.
Ecuaci´on Algebraica : Es aquella ecuaci´on en que ambos miembros son polinomios.
Identidad : Las identidades son expresiones similares a las ecuaciones, pero la igualdad entre los miembros que la componen es v´alida para cualquier valor de la inc´ognita, por ejemplo x2 = x · x se cumple para cualquier valor de x, por lo tanto ´esta ser´ıa una identidad. A diferencia x + 1 = 2 es v´alida s´olo si x = 1, por lo tanto ´esta ser´ıa una ecuaci´on.
Soluci´on o Ra´ız : Es el valor real para el que una ecuaci´on tiene sentido, es decir, es el valor que necesita ser la inc´ognita para que la ecuaci´on se transforme en una identidad.
Ecuacion de primer grado
Las ecuaciones de primer grado son aquellas en las cuales la o las variables presentes est´an elevadas a 1 (por esta raz´on se llaman de primer grado), veamos como podemos resolver ´estas ecuaciones.
Resolucion de ecuaciones de primer grado
Empecemos viendo algunas reglas que nos servir´an para la resoluci´on de ecuaciones:
1ero A toda igualdad se le puede agregar o quitar una cantidad sin alterarla, siempre que se haga sobre ambos lados de dicha igualdad. Por ejemplo; todos sabemos que 2 = 1 + 1, si agregamos una unidad a cada lado de la igualdad obtenemos 2 + 1 = 1 + 1 + 1 lo que implica que 3 = 1 + 1 + 1 que tambi´en resulta ser verdadero.
2do Toda igualdad puede ser multiplicada y/o dividida en ambos lados por cualquier nu´mero real distinto de 0 manteniendose la igualdad inalterable.
3ero Toda ecuaci´on de primer grado con una variable se puede escribir de la forma ax + b = 0, y es de los valores de a y b de los cuales depende la cantidad de soluciones que vamos a tener.
Si a 6= 0, entonces existe una u´nica soluci´on.
Si a = 0 y b = 0, existen infinitas soluciones.
Si a = 0 y b 6= 0, no existen soluciones.
Ahora, veamos el m´etodo b´asico de resoluci´on con un ejemplo.
Ejemplo :
5x + 7 = 21 − 9x → Ocupando la primera regla podemos sumar a ambos lados el nu´mero 9x. 5x + 7 + 9x = 21 − 9x + 9x → Como −9x es el inverso aditivo de 9x implica que 9x − 9x = 0. 5x + 9x + 7 = 21 + 0 → Ahora podemos sumar −7 a ambos lados. 14x + 7 − 7 = 21 − 7 14x + 0 = 14 → Luego ocupando la segunda regla podemos di- vidir a ambos lados por 14 obteniendo. 14x ÷ 14 = 14 ÷ 14 → Al lado izquierdo podemos conmutar. x · 14 ÷ 14 = 1 → Obteniendo finalmente. x · 1 = 1 x = 1
Como puedes ver la idea de ´este m´etodo es juntar todos los t´erminos algebraicos que tengan la inc´ognita a un solo lado de la igualdad para luego “despejarlo” sumando los inversos aditivos de los otros t´erminos, una vez que queda el t´ermino con la inc´ognita solo a un lado de la ecuaci´on multiplicamos por el inverso multiplicativo de su factor numeral. De ´esta forma siempre llegaremos a la soluci´on.
Redaccion de ecuaciones de primer grado
Muchos de los problemas que te aparecer´an en la PSU no est´an escritos matem´aticamente, as´ı es que es muy importante que aprendas como transformarlo a una simple ecuaci´on. Recuerda cuando aprendiste lenguaje algebraico1, porque te ser´a muy util.
Ejemplo :
♠ ¿Qu´e nu´mero es aquel que al duplicar su sucesor es igual al triple de su antecesor?.
Respuesta :
El doble del sucesor de un nu´mero se representa por 2·(x+1), y el triple del antecesor como 3 · (x − 1), por lo tanto la ecuaci´on que da de la forma:
2(x + 1) = 3(x − 1)
Luego lo resolvemos como ya sabemos hacerlo:
2(x + 1) = 3(x − 1) 2x + 2 = 3x − 3 2 + 3 = 3x − 2x
5 = x
Otro ejemplo :
♠ Gonzalo tiene $900 m´as que Cristian.Si entre ambos tienen un total de $5.500, ¿cu´anto dinero tiene Cristian?
Respuesta :
El dinero de Cristian es nuestra inc´ognita, as´ı es que llam´emosla $x, por lo tanto Gonzalo debe tener ($x+$900) ya que ´este tiene $900 m´as. Como entre ambos suman $5.500 la ecuaci´on queda de la forma:
$x + ($x + $900) = $5.500
Al resolverla queda:
$x + ($x + $900) = $5.500
$x + $x + $900 = $5.500
$2x + $900 = $5.500 $2x = $5.500 − $900
$2x = $4.600
$x =
$4.600 2 $x = $2.300
Ecuacion de segundo grado
Una ecuaci´on de segundo grado es una igualdad donde el m´aximo exponente de la variable es 2, pudiendo aparecer t´erminos con la variable elevada a 1 e incluso t´erminos independientes (sin la variable). La ecuaci´on cuadr´atica se puede presentar de diferentes maneras, que vale la pena estudiar, para poder hacer una m´as r´apida resoluci´on de ellas.
Ecuacion incompleta total
Es una ecuaci´on de la forma:
ax2 + c = 0
siendo a y c constantes, con a 6= 0. Para este caso de ecuaciones la resoluci´on es siempre de la forma:
ax2 + c = 0 ax2 = −c x2 = − c a
x =
r −
c a
o tambi´en x = − r −
c a
Ecuacion incompleta binomial
Se trata de una expresi´on que posee dos t´erminos que poseen la variable, es de la forma:
ax2 + bx = 0
Siendo a y b constantes, con a 6= 0. Podemos observar que como la variable se encuentra en los dos t´erminos algebraicos podemos factorizar por ella, obteniendo:
x · (ax + b) = 0
Ahora, tenemos dos nu´mero reales (x y ax+b), que multiplicados entre si, dan por resultado 0. Lo que quiere decir que al menos uno es 0, por lo tanto obtenemos dos soluciones:
x1 = 0 o ax2 + b = 0 x2 = −b a
Ecuacion general
La forma general de la ecuaci´on de segundo grado es:
ax2 + bx + c = 0
Siendo a, b y c constantes, con a 6= 0. Busquemos las soluciones de esta ecuaci´on.
ax2 + bx + c = 0
a
x2 +
b a
x +
c a
= 0 Como a 6= 0 se tiene que
x2 +
b a
x +
c a
= 0
x2 +
b a
x = −
c a
Completando cuadrados se tiene que
x2 +
b 2a
2x +
b2 4a2
= −
c a
+
b2 4a2
x +
b 2a
2
=
b2 − 4ac 4a2
x +
b 2a
= ± rb2 − 4ac 4a2
x +
b 2a
= ± √
b2 − 4ac √ 4a2
x = −
b 2a
± √
b2 − 4ac 2a
x =
−b ± √
b2 − 4ac 2a
As´ı hemos llegado a establecer una f´ormula general que nos permite encontrar las ra´ıces de cualquier ecuaci´on cuadr´atica, siendo ´estas:
x1 =
−b + √
b2 − 4ac 2a
y x2 =
−b − √
b2 − 4ac 2a
Dentro de la f´ormula de la ecuaci´on cuadr´atica distinguiremos a la cantidad sub radical, llamada Discriminante, que la abreviaremos por el s´ımbolo ∆.
∆ = b2 − 4ac
Veremos que ∆ es un factor importante a la hora de conocer las raices de la ecuaci´on de segundo grado ya que:
Si ∆ > 0, la ecuaci´on tiene dos soluciones reales y distintas, ya que todo nu´mero positivo tiene siempre dos raices reales.
Si ∆ = 0, la ecuaci´on tiene una soluci´on real, ya que la u´nica ra´ız de 0 es 0.
Si ∆ < 0, la ecuaci´on no tiene soluciones reales, ya que NO existe ningu´n nu´mero real que elevado a 2 de por resultado un nu´mero negativo.
5.3.4. Propiedades de las raices de la ecuaci´on de segundo grado
Al analizar la forma que tienen las raices de la ecuaci´on cuadr´atica podemos encontrar dos ecuaciones importantes que nacen de la suma y la multiplicaci´on de las raices:
x1 + x2 =
−b + √
b2 − 4ac 2a
+
−b − √
b2 − 4ac 2a
=
−b + √
b2 − 4ac − b − √
b2 − 4ac
2a
=
−b + 0 − b 2a
=
−2b 2a
= −
b a
Multiplicaci´on de Raices
x1 · x2 =
−b + √
b2 − 4ac 2a
·
−b − √
b2 − 4ac 2a
=
(−b + √
b2 − 4ac) · (−b − √
b2 − 4ac)
4a2
=
b2 − (b2 − 4ac) 4a2
=
4ac 4a2
=
c a
Con estas dos propiedades, podemos formar una ecuaci´on de segundo grado conociendo s´olo sus raices, ya que:
x2 +
b a
x +
c a
= x2 − (x1 + x2)x + x1 · x2
O bien, ocupando el hecho de que son raices, es decir que al reemplazarlas en la ecuaci´on general de segundo grado esta se satisface, podemos reemplazarlas en la ecuaci´on factorizada de la forma:
(x − x1)(x − x2) = 0
Y luego multiplicar ambos binomios, ya que de esta manera al reemplazar cualquiera de las soluciones en esta u´ltima expresi´on, esta se satisface.
Veamos un ejemplo de resoluci´on :
♠ Resolvamos la ecuaci´on:
x2 − 3x + 2 = 0
Primero debemos identificas los coeficientes; a = 1, b = −3 y c = 2, luego las soluciones son:
x1 =
−b + √
b2 − 4ac 2a
=
−(−3) + p(−3)2 − 4 · (1) · (2) 2 · (1)
=
3 + √
9 − 8 2
=
3 + 1 2 = 2
x2 =
−b − √
b2 − 4ac 2a
=
−(−3) − p(−3)2 − 4 · (1) · (2) 2 · (1)
=
3 − √
9 − 8 2
=
3 − 1 2 = 1