Cuando nos comunicamos en nuestra vida cotidiana y utilizamos el t´ermino “conjunto”, seguramente nos estamos refiriendo a un grupo de objetos de alguna naturaleza determinada. Bueno, en matem´aticas esta expresi´on no est´a para nada alejada de lo que tu entiendes por un conjunto, la diferencia radica en que los conjuntos que aprenderemos son aquellos que est´an formados por nada m´as ni nada menos que nu´meros. Los nu´meros son elementos fundamentales en el estudio de las matem´aticas, ya que gracias a ellos se pueden precisar o determinar exacta- mente respuestas a algunas de las preguntas del ser humano, es por esto que es tan importante analizarlos, trabajarlos y lo que haremos en este cap´ıtulo, agruparlos.

1.1.1. Subconjuntos

Los subconjuntos son esencialmente conjuntos, pero el prefijo sub. que aparece delante nos infiere que existe un conjunto m´as grande del que estamos hablando. Uno en el cual nuestro subconjunto esta contenido. Por ejemplo; si queremos formar el conjunto formado por todas las personas involucradas en nuestro preuniversitario, encontraremos en el a profesores, alumnos y coordinadores, y un subconjunto de este ser´ıa el grupo de todos los profesores, ya que ´estos por si solos forman un conjunto, pero ´este est´a contenido en el primer conjunto nombrado.

1.1.2. Representacio´n

Para representar un conjunto cualquiera, generalmente se usa una l´ınea que encierra a un grupo de cosas, las cuales, forman el conjunto. Una manera an´aloga es ordenarlos, separados de comas y entre par´entesis de llave ({})1 esta u´ltima notaci´on es la que utilizaremos frecuente- mente.

1Ejemplo de un conjunto A={a,b,c,d,e}

3

1. N´umeros

1.1.3. Cardinalidad

Cuando queremos hablar de cantidades dentro de los conjuntos, o aclarar si un conjunto es m´as grande o no que otro, introducimos un t´ermino que llamamos cardinalidad, la cual representamos por el s´ımbolo #, ´esta solo depende del nu´mero de objetos de nuestro conjunto.

Por ejemplo, la cardinalidad del conjunto de la figura 1.1 es 4.

Figura 1.1: Conjunto de objetos

1.2. Conjuntos Num´ericos

Son todos aquellos conjuntos que est´an formados por nu´meros, ´estos se dividen principal- mente en:

1.2.1. Nu´meros Naturales

Los nu´meros naturales son los que normalmente ocupamos para contar, se representan por el s´ımbolo N. Y sus elementos son:

N = {1,2,3,4,...∞}

Algunos subconjuntos de N son:

• Los nu´meros pares = {2,4,6,8,10,12,...∞}, ´estos los podemos representar como 2n∀ n ∈ N

• Los nu´meros impares = {1,3,5,7,9,11,...∞}, los cuales los podemos representar como (2n + 1) o (2n − 1)∀ n ∈ N

• Los nu´meros primos = {2,3,5,7,11,13,17,...∞}, son todos aquellos nu´meros que son divisibles solo por si mismos y por 1, excluyendo a ´este u´ltimo.

• Los nu´meros compuestos, Son todos aquellos que NO son primos.

• etc...

 

1.2.2. Nu´meros Cardinales

Cuando en el conjunto de los nu´meros naturales incluimos el 0, se denomina como Nu´meros Cardinales, se representa por el s´ımbolo N0, y sus elementos son:

N0 = {0,1,2,3,4,...∞}

Algunos subconjuntos de N0 son:

• Los nu´meros Naturales y todos los subconjuntos de ´este. • Los d´ıgitos; = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

1.2.3. Nu´meros Enteros

Es el conjunto formado por todos los nu´meros sin cifra decimal, es decir, los numeros natu- rales, sus inversos aditivos2, y el neutro aditivo3.

Z = {−∞...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...∞}

Algunos subconjuntos de Z son:

• Los nu´meros Naturales. • Los nu´meros Cardinales. • etc...

 

1.2.4. Numeros Racionales

Como te habr´as dado cuenta en los conjuntos anteriormente mencionados, tenemos el prob- lema de que sus elementos se pueden “escapar” facilmente de ellos, nos referimos a que basta que dos nu´meros Naturales se resten (4 − 5, por ejemplo), para obtener algu´n nu´mero negativo y entonces ya estaremos fuera de N, o para el caso de los enteros, basta que dos de ellos que no sean divisibles entre si (−3 y 2, por ejemplo), se dividan y entonces ya no tendremos un nu´mero entero. Para resolver ´este problema, existe el conjunto de los nu´meros Racionles, representados por el s´ımbolo Q y que cumple que para cada par de nu´meros racionales, la suma, resta, divisi´on y multiplicaci´on (sin considerar al 0), es siempre un nu´mero de Q, a ´este tipo de conjuntos se les conoce como Cuerpo. Lo podemos representar como:

Q =

p q

p,q ∈ Z, q 6= 0

Para cada elemento de ´este cuerpo aparecen en el mismo, los llamados inversos multiplica- tivos, que son aquellos que al multiplicarse por el elemento obtenemos el 1 (neutro multiplicati- vo). Por ejemplo: 5 · 1 5 = 1, por lo tanto el inverso multiplicativo de 5 es 1 5, o 3 4 · 4 3 = 1, por lo tanto el inverso multiplicativo de 3 4 es 4 3. Existen distintas formas de expresar los elementos de este conjunto.

Forma Fraccionaria

´ Esta forma nos expresa “porciones” de algu´n entero. En su estructura tenemos una l´ınea fraccionaria, un numerador (nu´mero sobre la l´ınea fraccionaria), y un denominador (nu´mero bajo la l´ınea fraccionaria). El denominador nos indica la cantidad de partes en que dividimos un entero y el numerador nos muestra cuantas de ellas vamos a considerar. Por ejemplo:

Figura 1.2: Representaciones Fraccionarias

En el primer caso dividimos un c´ırculo en 8 partes iguales, y de ellas ocupamos 3, lo cual representamos por: 3 8. Y en el segundo caso dividimos un rect´angulo en 6 partes iguales, con- siderando s´olo 3 de ellas, lo cual representamos por: 3 6

Forma Mixta

Hay ocasiones en que el numerador de una fracci´on es mayor que el denominador. En ´estas situaciones dividimos el numerador por el denominador, del resultado de esta divisi´on consid- eramos el cuociente como la parte entera, y el resto como numerador de la fracci´on que la acompan˜a. Por ejemplo:

Consideremos la fracci´on 8 5, entonces al efectuar la divisi´on se tiene.

8 ÷ 5 = 1

3.

Por lo tanto podemos escribir esta fracci´on como: 8 5 = 13 5.

Forma Decimal

Toda fracci´on tiene su representacion como nu´mero decimal, para obtenerlo basta dividir, sin dejar resto, el numerador con el denominador. Por ejemplo, consideremos la fracci´on 5 4:

5 ÷ 4 = 1,25

10

20

0.

Para pasar un numero decimal a fracci´on existen 3 posibles casos:

1. Con Decimales Finitos

Es decir, cu´ando las cifras decimales de un nu´mero son finitas, por ejemplo 4,376 es un decimal finito pues tiene solo 3 d´ıgitos despues de la coma, pero 4,333333333333... con infinitos 3, uno tras otro, no es un decimal finito pues tiene infinitos d´ıgitos despues de la coma.

La manera de pasar este tipo de decimales a fraccti´on es simplemente escribir una fracci´on cuyo nu´merador sea el mismo nu´mero pero sin coma, y cuyo denominador sea 10000... con tantos ceros como d´ıgitos tiene el nu´mero despues de la coma, por ejemplo:

♠ 5,326 | {z } 3 d´ıgitos

= 5626 1000

♠ 2,32 |{z} 2 d´ıgitos

= 232 100

♠ 1,3 |{z} 1 d´ıgitos

= 13 10

Esto es dibido a que cuando uno divide por 10, 100, 1000, etc, lo u´nico que le sucede al dividendo es que se corre la coma hacia la izquierda tantos espacios como ceros posee el divisor.

2. Decimales Periodicos

Los decimales peri´odicos son aquellos en que los nu´meros despues de la coma se repiten infinitamente sin alterar su orden, por ejemplo:

♠ 1,333333333333333... es un nu´mero decimal donde el 3 se repite infinitas veces de- spues de la coma, este nu´mero lo escribiremos de la forma: 1,3. ♠ 4,324324324324324324... es un nu´mero decimal donde el nu´mero 324 se repite infini- tamente despues de la coma, este nu´mero lo escribiremos de la forma: 4,324

 

♠ 2,56565656723214569875... es un nu´mero cuyos decimales no tienen ninguna relaci´on por lo tanto se dice que NO es un decimal peri´odico.

La fracci´on que representa a estos decimales es aquella cuyo numerador es el nu´mero escrito sin coma ni linea peri´odica menos la parte entera dividido por 9999... con tantos 9 como decimales peri´odicos halla, por ejemplo:

♠ 1,32 = 132−1 99 = 131 99 ♠ 1,586 = 1586−1 999 = 1585 999 ♠ 6,2 = 62−6 9 = 56 9 ♠ 12,432 = 12432−12 999 = 12420 999

3. Decimales Semiperiodicos

Los decimales semiperi´odicos son aquellos en que hay cifras decimales que aparecen solo una vez y las dem´as se repiten infinitamente, por ejemplo:

♠ 1,233333333333333... es un nu´mero decimal donde el 3 se repite infinitas veces de- spues del 1, este nu´mero lo escribiremos de la forma: 1,23. ♠ 3,3211111111111111111... es un nu´mero decimal donde el nu´mero 1 se repite infini- tamente despues del 32, este nu´mero lo escribiremos de la forma: 3,321 ♠ 2,532323232323232323232... es un nu´mero decimal donde el nu´mero 32 se repite infinitamente despues del 5, este nu´mero lo escribiremos de la forma: 2,532

La fracci´on que representa a estos decimales es aquella cuyo numerador es el nu´mero escrito sin coma ni linea peri´odica menos la parte no peri´odica del nu´mero, dividido por 9999...0000... con tantos 9 como decimales peri´odicos halla y tantos ceros como d´ıgitos no per´odicos halla despues de la coma, por ejemplo:

♠ 1,32 = 132−13 90 = 119 90 ♠ 2,561 = 2561−256 900 = 2305 900 ♠ 6,123 = 6123−61 990 = 6062 990 ♠ 12,06 = 1206−120 90 = 1086 90 Algunos subconjuntos de Q son: • Los nu´meros Naturales, ya que todo nu´mero natural n lo podemos escribir como n 1. • Los nu´meros Cardinales. • Los nu´meros Enteros ya que todo nu´mero entero z lo podemos escribir como z 1. • etc...

1.2.5. Nu´meros Irracionales

Es el conjunto de todos los nu´meros que no pertenecen al mundo de los racionales, es decir no se pueden escribir como fracci´on ya que tienen infinitos decimales sin ninguna relaci´on. Una forma de enunciar sus elementos es:

I = { i | i 6∈ Q}

Algunos elementos de ´este conjunto son: π,e, √

2,etc...

 

1.2.6. Numeros Reales

Es el conjunto que obtenemos entre la uni´on de todos los conjuntos que acabamos de ver, pero como te habr´as dado cuenta, en los nu´meros racionales est´an ya incluidos los naturales y los enteros, entonces basta decir que:

R = Q∪I

En la figura 1.3 puedes observar gr´aficamente ´este hecho.

Figura 1.3: Diagrama de los conjuntos num´ericos b´asicos

1.3. Operatoria con los nu´meros Reales

1.3.1. Axiomas de Cuerpo

1. Conmutatividad: Para todo a,b ∈ R, se cumple que:

a + b = b + a y a · b = b · a

2. Asociatividad: Para todo a,b y c ∈ R, se cumple que:

a + (b + c) = (a + b) + c y a · (b · c) = (a · b) · c

3. Distributividad: Para todo a,b y c ∈ R, se cumple que:

a · (b + c) = a · b + a · c

 

1.3.2. M´ınimo Comu´n Mu´ltiplo

El m´ınimo comu´n mu´ltiplo (M.C.M), entre dos o m´as nu´meros reales es el nu´mero m´as pequen˜o entre todos los mu´ltiplos que tengan en comu´n. Por ejemplo, para determinar el M.C.M entre 4 y 6 veamos los conjuntos de sus mu´ltiplos.

→ Mu´ltiplos de 4 = {4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,...}

→ Mu´ltiplos de 6 = {6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,...}

→ Y la intersecci´on entre ´estos dos conjuntos es = {12,24,36,48,...}

Luego, como el m´ınimo de ´este u´ltimo conjunto es 12, entpnces el M.C.M. entre 4 y 6 es 12. Otra forma de determinar el M.C.M. es con la siguiente tabla:

4 6 ÷2 2 3 ÷2 1 3 ÷3 1

Donde se va dividiendo a los nu´meros hasta obtener el 1 para ambos, luego el M.C.M. ser´a la multiplicaci´on entre los divisores usados. De manera que obtenemos: 2 · 2 · 3 = 12

1.3.3. M´aximo Comu´n Divisor

Cuando nos referimos al divisor de un nu´mero real estamos hablando de un nu´mero que divide exactamente (sin dejar resto) al nu´mero en cuesti´on. El m´aximo comu´n divisor (M.C.D) entre dos o m´as nu´meros reales es el divisor m´as grande que tienen en comu´n. Por ejemplo, busquemos el m´aximo comu´n divisor entre 16 y 40, para ello necesitamos conocer los conjuntos de sus respectivos divisores.

→ Divisores de 16 = {1,2,4,8,16}

→ Divisores de 40 = {1,2,4,5,8,10,20,40}

→ Y la intersecci´on entre ´estos dos conjuntos es = {1,2,4,8}

Por lo tanto el M.C.D. entre 16 y 40, es 8.

1.3.4. Reglas de Multiplicidad y Divisibilidad

Para multiplicar o dividir nu´meros reales debes tener en cuenta que su signo (positivo o negativo), importa mucho al momento de operarlos. Para esto siempre considera la siguiente tabla:

+ · + = + − · − = + + · − = − − · + = −

O si te es m´as sencillo, considera la palabra “amigo” como positivo (+), y “enemigo” como negativo (−), y recuerda que:

“El amigo de mi amigo es mi amigo”

“El enemigo de mi enemigo es mi amigo”

“El amigo de mi enemigo es mi enemigo”

“El enemigo de mi amigo es mi enemigo”

Adem´as para que te sea m´as f´acil la obtenci´on de divisores o mu´ltiplos comunes es bueno tener presente que:

Todos los nu´meros son divisibles por 1.

Los nu´meros divisibles por 2, son todos aquellos cuyo u´ltimo d´ıgito es par o 0.

Los nu´meros divisibles por 3, son todos aquellos que cumplen que la suma de sus d´ıgitos es divisible por 3.

Los nu´meros divisibles por 4, son todos cuyos u´ltimos dos d´ıgitos forman un nu´mero divisible por 4.

Los nu´meros divisibles por 5, son todos aquellos que terminan en 5 o 0.

Los nu´meros divisibles por 6, son todos aquellos que son divisibles por 2 y por 3 al mismo tiempo.

1.3.5. Orden Operatorio

Siempre al momento de desarrollar un ejercicio donde aparezcan sumas, restas, multiplica- ciones, divisiones, potencias, etc, debes tener presente que existe una prioridad en el desarrollo de ´estas, es decir; hay operaciones que deben realizarse antes que otras para obtener el resultado correcto. ´Este orden es el siguiente:

1. Potencias.

2. Multiplicaciones y divisiones.

3. Sumas y restas.