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Trigonometria
Sistema de medidas angulares
Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice.
El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj ynegativo en caso contrario.
Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades:
1 Grado sexagesimal (°):
Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo central correspondiente a cada una de sus partes es un ángulo de un grado (1°) sexagesimal.
Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').
2 Radián (rad):
Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radial
Razones Trigometricas
Seno: Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por sen B.
Coseno: Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por cos B.
Tangente: Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.
Se denota por tg B
Cosecante: Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.
Se denota por cosec B.
Secante
Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.
Se denota por sec B.
Cotangente
Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B.
Se denota por cotg B.
Identidades trigonometricas
Introducción y demostración de la identidad trigonométrica fundamental seno al cuadrado más coseno al cuadrado igual a uno.
Se establece una diferencia entre igualdad e identidad para luego hacer uso del teorema de pitágoras y a partir de allà demostrar la identidad fundamental de la trigonometrÃa. En la última parte del video se muestran dos identidades adicionales que se desprenden de forma inmediata de la identidad fundamental
En este video se mostrará la deducción y demostración de la identidad trigonométrica fundamental. Alguna personas confunden el término igualdad con el término identidad, aunque son conceptos similares se diferencian entre si, ya que en una igualdad solo una gama o grupo de valores de la variable pueden hacer cumplir la ecuación, en cambio en la identidad la ecuación se cumple para cualquier valor que se le da a la variable. La identidad trigonométrica fundamental es la siguiente:sen^ α+cos^2α=1, se le llama identidad trigonométrica fundamental debido a que, como se verá más adelante, a partir de ella se deducen una gran cantidad de otras identidades trigonométricas.
Para la demostración de esta identidad se parte de un triángulo rectángulo contenido en la circunferencia unitaria y como se vio en los videos anteriores el seno y el coseno se definen de la siguiente manera: El seno se define como la razón entre el valor de la coordenada Y del segmento que forma el ángulo con el eje x y la magnitud de dicho segmento. El coseno es la razón entre el valor de la coordenada X del segmento que forma el ángulo con el eje x y la magnitud del segmento. Con base en las definiciones anteriores tenemos que senα= y/r y cosα=x/r, además, aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo inscrito en la circunferencia unitaria tenemos que: x^2+y^2=r^2, si despejamos la x y la y de las funciones seno y coseno respectivamente y las reemplazamos en la ecuación obtenida aplicando el teorema de Pitágoras tenemos: x=rcosα, y=rsenα, entonces r^2 cos^2α+r^2 sen^2α=r^2, que es lo mismo que sen^2α+cos^2α=1 y querÃamos demostrar.
Funciones Trigonometricas
Representación gráfica de la función seno a partir de un análisis detallado.
Se parte por el concepto básico del seno de un ángulo como una razón entre el cateto opuesto a dicho ángulo y la hipotenusa en un triángulo rectángulo para luego redefinir esta razón en un plano cartesiano donde el valor será la razón entre la coordenada en Y la longitud del segmento que forma el ángulo. Esto último nos lleva a usar esta definición de forma conveniente, escogiendo la longitud del segmento de magnitud uno, permitiéndonos redefinir para cualquier ángulo el seno como la coordenada en Y dentro de una circunferencia unitaria.
Con base en la circunferencia unitaria y en algunos ángulos, llamados notables, podemos construir la gráfica de la función seno cuyo dominio son los reales y rango los valores entre -1 y 1
HabÃamos mencionado en los videos anteriores que las razones trigonométricas deducidas a partir del triángulo rectángulo tenÃan el inconveniente de que no nos servÃan para definir las razones trigonométricas para ángulos mayores a 90° grados, debido a esto se hacÃa necesario redefinir las razones trigonométricas con el fin de ser capaces de expresarlas para cualquier valor de ángulo de la circunferencia. Para plantear estas definiciones se hizo uso del plano cartesiano con coordenadas X y Y y llegábamos a la siguiente relación: El seno se define como la razón entre el valor de la coordenada Y del segmento que forma el ángulo con el eje x y la magnitud de dicho segmento. Esta definición tiene la ventaja que si se formula en base a una circunferencia unitaria, el seno de cualquier ángulo simplemente es la coordenada Y dentro de la circunferencia.
En este video vamos a hablar del seno como función y como se representa gráficamente. Recordemos que una función es la relación matemática que se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes. Teniendo en cuenta lo anterior, vemos que la función que queremos representar gráficamente es la siguiente: y=senx, donde x es un ángulo que puede tomar cualquier valor. En este caso es conveniente representar los ángulos en el sistema natural o de radianes. La gráfica se construye tomando diferentes valores de ángulos y hallando el seno de ellos, en los videos anteriores vimos la deducción del seno de muchos ángulos notables y nos podemos servir de ellos para realizar la representación gráfica de la función seno. De la gráfica se pueden sacar algunas conclusiones tales como que el dominio de la función seno es el conjunto de los reales y el rango de la función son los números comprendidos entre -1 y 1 es decir el conjunto[-1,1].
